Corso Di Daniele

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Prova: è abbastanza dimostrare che {yn-a} è infinitesimo. Designiamo attraverso N’ il numero che comincia con quello che, le ineguaglianze specificate in una condizione di teorema sono effettuate. Allora, cominciando dallo stesso numero, sarà anche ineguaglianze di xn-á  yn-á  zn-á sarà eseguito. Da questo ne consegue che a nN’ gli elementi di successione {gli yn-a} soddisfanno a un'ineguaglianza

dove n-elemento di successione infinitesima. Come la successione infinitesima {lo n} è limitato (secondo il teorema: La successione infinitesima è limitata.), ci sarà un tal numero A questo per tutti i numeri n in modo imparziale l'ineguaglianza di |n|A. Perciò | xn |  |a | + per tutti i numeri n, come significa la restrizione di successione {xn}. Il teorema è provato.

È possibile dare ancora una definizione per la successione incontrante, anche: La successione {xn} è chiamata incontrandosi se c'è un tal numero e che per qualsiasi numero positivo di  è possibile specificare il numero N tale che a nN tutti gli elementi xn di questa successione soddisfanno a un'ineguaglianza:

Sottraendo questi rapporti, troveremo n-n=b-a. Siccome tutti gli elementi di successione infinitesima {n-n} hanno lo stesso valore di b-a costante, (secondo il teorema: Se tutti gli elementi di successione infinitesima {n} sono uguali allo stesso numero con, con = a b-a=0, cioè b=a. Il teorema è provato.

Definizione: La successione {xn} è chiamata incontrandosi se c'è un tal numero e che la successione {xn-and} è infinitesima. Così il numero e è chiamato come un limite di successione {xn}.

Prova: Lasci tutti gli elementi xn, almeno di avviamento con alcun numero, soddisfaccia a ineguaglianza xnb. Assumiamo questo e

Prova: Lasci e b – i limiti della successione incontrante {xn}. Allora, usando la rappresentazione speciale per gli elementi xn della successione incontrante {xn}, riceveremo xn=a+n, xn=b+n, dove n e n – gli elementi di successioni infinitesime {n} e {n}.

TEOREMA: Lasci {xn} e {zn} - le successioni incontranti che hanno il limite generale e. Lasci, inoltre, cominciando da alcun numero, gli elementi di successione {yn} soddisfanno a ineguaglianze xnynzn. Allora la successione {yn} incontra e ha un limite e.

TEOREMA: Se gli elementi della successione incontrante {xn}, cominciando da alcun numero, soddisfanno a un neraventstvo di xnb (xnb), e il limite e questa successione soddisfanno a un'ineguaglianza di ab (ab).

La successione incontra e ha lo zero di limite. Dopotutto che c'è stato > 0, sulla proprietà di Archimedes di numeri reali c'è un tal numero naturale di n questo n>. Perciò per tutto nn, e significa questo.

consegue di questa ineguaglianza che a nN |yn l'ineguaglianza | è effettuata>. Perciò a nN abbiamo. Perciò, cominciando da questo numero N, possiamo considerare la successione, e questa successione è limitata. Il lemma è provato.

Se il membro generale della fila che non si incontra, disperdendosi nel senso vero, aspira a zero, le somme parziali di questa fila sono situate dappertutto densamente tra i loro limiti più in basso e superiori di lim inf e sorso lim.

(a causa del teorema: il Lavoro di successione limitata su infinitesimo è la successione infinitesima.) la successione {uno n+b n+n n} infinitesimo e perciò la successione {xnyn-b} troppo infinitesimo, quindi la successione {lo xnyn} incontra e ha il limite ab il numero. Il teorema è provato.